背景

１次元での収束の証明

A Blog Entry on Bayesian Computation by an Applied Mathematician

$$

$$

1 第一案：\(0\) を避ける必要がある

\(f(-,\pm1)\) を \((-\epsilon,\epsilon)\) 上でのみ変更し，\(f(-\epsilon),f(\epsilon)\) を線型に補間したものを \(f_\epsilon\) とする： \[ f_\epsilon(x,v)=\begin{cases} f(x,v)&x\in(-\infty,-\epsilon]\cup[\epsilon,\infty)\\ f(\epsilon,v)+\frac{f(\epsilon,v)-f(-\epsilon,v)}{2\epsilon}(x-\epsilon)&x\in(-\epsilon,\epsilon)\\ \end{cases} \] \(x\mapsto f_\epsilon(x,v)\) は \(f(-,v)\in C^1((-\infty,0_-)\cup(0_+,\infty))\) より，２点を除いて微分可能であるため，絶対連続である．

ここまでは良いように見えたが，次の積分を評価するときに問題になる．\((-\delta,\delta)\) を除けば，十分小さな \(\epsilon>0\) について \(f_\epsilon\) と \(f\) は一致するから \[ \operatorname{E}\biggl[\biggl|f_n(X_n(t))-f(X_n(t))\biggr|\biggr]=\operatorname{E}\biggl[1_{\left\{X_n(t)\in(-\delta,\delta)\right\}}\biggl|f_n(X_n(t))-f(X_n(t))\biggr|\biggr] \] と変形できるが，\(\operatorname{P}[X_\epsilon(t)\in(-\delta,\delta)]\) は \(\epsilon\to0\) の極限で \(0\) に収束しない．

では修正して \(f\) を \((0,\epsilon)\) 上でのみ変更するとすれば，一様収束しない領域は \((-\delta,\delta)\) と取れる．だがこれは問題が解決していない，有限の \(\epsilon>0\) 上では \(X_\epsilon(t)\) はやはり絶対連続であり，端点 \(0\) を含むかとか関係なく，\((0,\delta)\) 上での積分はオーダー \(O(\epsilon)\) である．

これは実は，速度が重要な働きをしていて，最初の第一案の方が採用されるのである．